Liniowa analiza wyboczeniowa w oprogramowaniu Advance Design, cz. 1

Utrata stateczności elementu

Program do analizy konstrukcji Advance Design poza obliczeniami statyki liniowej i nieliniowej pozwala na przeprowadzenie analizy potocznie zwanej wyboczeniową. Wyboczeniem elementu nazwać można utratę jego stateczności pod wpływem działania osiowej siły ściskającej. Tak długo, aż nie osiągnie ona pewnej krytycznej wartości, element ulega jedynie skróceniu. Po przekroczeniu wartości krytycznej element wytrącany jest ze stanu równowagi co określamy w skrócie wyboczeniem. O konstrukcji statecznej moglibyśmy mówić w sytuacji, gdy ta wychylona z położenia równowagi mogłaby wrócić do swojej pierwotnej postaci.

Zjawisko utraty stateczności w ogólności jest dość skomplikowanym zagadnieniem. Sama liniowa analiza wyboczeniowa jest natomiast dość łatwa do skonfigurowania i przeprowadzenia. Polega ona na rozwiązaniu zagadnienia własnego, którego rezultatem będą wartości własne i postaci własne. Wartością własną będziemy nazywać mnożnik krytyczny, a postacią własną po prostu postać utraty stateczności. Siła w elemencie przemnożona przez mnożnik krytyczny to siła krytyczna, przy której traci on stateczność.

W prostych przypadkach (np. elementy wydzielone) siłę krytyczną można wyznaczyć na podstawie wzoru Eulera:

Projektant musi natomiast oszacować długość wyboczeniową elementu co czasami jest względnie łatwe. Postacie utraty stateczności i długość wyboczeniowa dla prostych schematów statycznych są ogólnie znane i zaprezentowane chociażby w PN-EN 1992-1-1.

Rys. 1. Współczynnik długości wyboczeniowej wg PN-EN 1992-1-1

Problem zaczyna pojawiać się przy nietypowo stężonych konstrukcji, w których nie jest tak łatwo oszacować sztywność obrotową węzłów. Rozwiązanie liniowej analizy wyboczeniowej pozwala poznać siłę krytyczną, a co za tym idzie również długość wyboczeniową.

Liniowa analiza wyboczeniowa

Analiza wyboczeniowa daje odpowiedź jak blisko element/konstrukcja jest bliska utraty stanu równowagi. Jeżeli współczynnik krytyczny jest mniejszy niż 1 (czyli obciążenie musiałoby być mniejsze niż obecnie występujące) konstrukcję praktycznie możemy wykluczyć z dalszych obliczeń. Wartość tego mnożnika o ile jest większa od 1 da nam natomiast informację jak bardzo konstrukcja może być wrażliwa na efekty II-rzędu i imperfekcje. Mówi o tym chociażby PN-EN 1993-1-1 w punkcie 5.2.1(3), gdzie pozwala na stosowanie w obliczeniach analizy I-rzędu, pod warunkiem, że α_cr > 10.

Dla prostego przykładu wspornikowego słupa stalowego (IPE400) o wysokości 8,00m obciążonego jednostkową siłą osiową wyniki rozwiązania analizy wyboczeniowej przedstawiono poniżej.

Rys. 2. Trzy pierwsze postaci wyboczenia i mnożniki krytyczne

Pierwsze dwie postaci wyboczenia są w kierunku słabszej osi przekroju, trzecia w silniejszej. Najmniejszy współczynnik krytyczny wynosi 106,68, przy założeniu, że siła była jednostkowa. Czyli gdyby siła osiowa wynosiła 106,68kN to słup ulegnie wyboczeniu. Patrząc na postać utraty stateczności w każdej płaszczyźnie łatwo ocenić, że długość wyboczeniowa wynosi 2*L – można o tą wielkość poprosić również program – dla dowodu wyznaczona zostanie w oparciu o wzór Eulera.

Analogicznie sprawdzenia można dokonać w drugiej płaszczyźnie, której najniższy współczynnik odpowiada trzeciej formie utraty stateczności. Dla klasycznego wspornika w obu płaszczyznach oczekiwane jest w tym wypadku 16,0m.

Tak jak widać w prostych przypadkach analiza wyboczeniowa jest łatwa do przeprowadzenia i dokładna. Przedstawiony przypadek jest możliwie najprostszym, gdzie pręt poddany jest osiowemu, idealnemu ściskaniu.

Istotną rzeczą, o której należy pamiętać, jest to, że prosta analiza wyboczeniowa jest w pełni liniowa – czyli zarówno geometrycznie jak i materiałowo. Jest to bardzo szybkie narzędzie dające w krótkim czasie odpowiedź o potencjalnym zachowaniu konstrukcji, nie uwzględnia natomiast efektów II-rzędu, a materiał pracuje w całym zakresie sprężyście.

W sytuacji, gdy analizujemy cały układ konstrukcyjny, a nie jedynie wydzielony element sprawa jest nieco bardziej skomplikowana – współczynnik krytyczny, ściśle związany z formą utraty stateczności, należy utożsamiać z elementami, które w tej formie tę stateczność tracą.

Dla prostej ramy, analizowanej tylko w płaszczyźnie układu otrzymano 20 kolejnych form utraty stateczności. Poniżej przedstawiono siły osiowe (tylko w prętach, które są ściskane, zakładając, że przy rozciąganiu nie tracą one stateczności).

Tak jak widać w prostych przypadkach analiza wyboczeniowa jest łatwa do przeprowadzenia i dokładna. Przedstawiony przypadek jest możliwie najprostszym, gdzie pręt poddany jest osiowemu, idealnemu ściskaniu.

Istotną rzeczą, o której należy pamiętać, jest to, że prosta analiza wyboczeniowa jest w pełni liniowa – czyli zarówno geometrycznie jak i materiałowo. Jest to bardzo szybkie narzędzie dające w krótkim czasie odpowiedź o potencjalnym zachowaniu konstrukcji, nie uwzględnia natomiast efektów II-rzędu, a materiał pracuje w całym zakresie sprężyście.

W sytuacji, gdy analizujemy cały układ konstrukcyjny, a nie jedynie wydzielony element sprawa jest nieco bardziej skomplikowana – współczynnik krytyczny, ściśle związany z formą utraty stateczności, należy utożsamiać z elementami, które w tej formie tę stateczność tracą.

Dla prostej ramy, analizowanej tylko w płaszczyźnie układu otrzymano 20 kolejnych form utraty stateczności. Poniżej przedstawiono siły osiowe (tylko w prętach, które są ściskane, zakładając, że przy rozciąganiu nie tracą one stateczności).

Rys. 3. Siły osiowe (tylko ściskanie) w prętach ustroju

Tak jak przedstawiono na poniższym obrazie, 1 postać utraty stateczności jest postacią globalną, przechyłową. Stateczność w niej ewidentnie tracą słupy ramy – mnożnik krytyczny wynosi 356,19 zatem przy osiowej sile 10,16kN, siła krytyczna wynosi 3618,89kN. Każda kolejna forma odpowiada za utratę stateczności ściskanego pasa górnego oraz ściskanych słupków i krzyżulców kratownicy. Mnożników tych postaci nie można oczywiście brać pod uwagę przy wyznaczaniu siły krytycznej i długości wyboczeniowej przykładowo słupów. Elementy, które w przypadku wyboczeniowym nie były ściskane nie tracą stateczności.

Rys. 4. Postać utraty stateczności i mnożnik krytyczny (pierwsze 7)

Aby uzyskać więcej informacji lub otrzymać wycenę, zapraszamy do skontaktowania się z nami poprzez naciśnięcie na poniższy przycisk: 

Wyślij zapytanie lub poproś o wycenę